Bài toán GTLN – GTNN của môđun số phức

Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (viết tắt là GTLN – GTNN hoặc min – max) của biểu thức có chứa môđun số phức là một dạng toán vận dụng cao thường gặp trong các đề thi thử môn toán THPT Quốc gia những năm gần đây, đây là dạng toán ít được đề cập đến trong sách giáo khoa Giải tích 12, do đó đã gây không ít bỡ ngỡ và khó khăn cho các bạn học sinh trong quá trình tiếp cận và tìm hướng giải quyết bài toán.

Khái quát nội dung tài liệu bài toán GTLN – GTNN của môđun số phức:

A. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

1. Các bài toán qui về bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm một biến.

Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Từ điều kiện T biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến.

Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được.

2. Các bài toán qui về bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hai biến mà các biến thoả mãn điều kiện cho trước.

Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhiacốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau:
a. Bài toán công cụ 1:
Cho đường tròn (T) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T). Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.
b. Bài toán công cụ 2:
Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1, đường tròn (T2) có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên (T1), điểm N trên (T2) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
c. Bài toán công cụ 3:
Cho hai đường tròn (T) có tâm I, bán kính R, đường thẳng ∆ không có điểm chung với (T). Tìm vị trí của điểm M trên (T), điểm N trên ∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

B. BÀI TẬP MIN – MAX MÔ ĐUN SỐ PHỨC